Question

5．已知向量$\overrightarrow a=（sinx，cosx）$，$\overrightarrow b=（sinx，sinx）$，$\overrightarrow c=（-1，0）$．
（Ⅰ）若$x=\frac{π}{3}$，求向量$\overrightarrow a$，$\overrightarrow c$的夹角θ；
（II）求函数$f（x）=\overrightarrow a•\overrightarrow b$的最大值．

Answer 1

分析 （1）求出|$\overrightarrow{a}$|，|$\overrightarrow{c}$|，$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}$，代入夹角公式计算；
（2）利用数量积公式和三角函数公式化简．

解答 解：（1）当$x=\frac{π}{3}$时，$\overrightarrow a=（{\frac{{\sqrt{3}}}{2}，\frac{1}{2}}）$，
∴$cosθ=\frac{\overrightarrow a•\overrightarrow c}{{\overrightarrow{|a}|•|\overrightarrow c|}}=\frac{{-\frac{{\sqrt{3}}}{2}}}{1×1}=-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，∴$θ=\frac{5π}{6}$．
（2）f（x）=sin²x+sinxcosx=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{1}{2}$sin2x=$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$）．
∴函数f（x）的最大值是$\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查了平面向量的数量积运算及夹角计算，三角函数化简求值，是中档题．