Question

设数列{a_n}前n项和S_n，且S_n=

5

2

n²-

3

2

n（n∈N^*），b_n=

1

5

（a_n+4）．
（1）求数列{a_n}通项公式，并证明{a_n}是等差数列
（2）证明不等式

5amn

-

aman

＞1对任意m、n∈N^*都成立
（3）若数列d_n=3^b_n+（-1）^n-1•λ•2^b_n（n∈N^*），问是否存在非零整数λ，使得对于任意正整数n，都有d_n+1＞d_n？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：数列的求和,等差关系的确定

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）运用n=1时，a₁=S₁，n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，即可得到数列{a_n}的通项公式，然后根据等差数列的特征证明即可；
（2）根据a_n=5n-4，用分析法可以使用权命题证明即可．
（3）首先设存在λ≠0，满足d_n+1＞d_n恒成立，然后讨论n的奇偶性，利用恒成立的方法求出λ的范围即可，最后根据λ是非零整数，求出它的值即可．

解答： 解：（1）当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（

5

2

n²-

3

2

n）-[

5

2

(n-1)2-

3

2

(n-1)]=5n-4，
又n=1时，a₁=S₁=1=5×1-4，
∴a_n=5n-4，
∴a_n-a_n-1=5n-4-（5n-9）=5，
∴{a_n}是以1为首项，5为公差的等差数列；
（2）由（1）可知，a_n=5n-4，
要证

5amn

-

aman

＞1，
只要证5a_mn＞1+a_ma_n+2

aman

，
因为a_mn=5mn-4，a_ma_n=（5m-4）（5n-4）=25mn-20（m+n）+16，
所以只要证5（5mn-4）＞1+25mn-20（m+n）+16+2

aman

，
即只要证20m+20n-37＞2

aman

，
因为2

aman

≤a_m+a_n=5m+5n-8＜5m+5n-8+（15m+15n-29）=20m+20n-37，
所以命题得证，
即不等式

5amn

-

aman

＞1对任意m、n∈N^*都成立；
（3）因为b_n=

1

5

（a_n+4）=

1

5

（5n-4+4）=n，
所以d_n=3^b_n+（-1）^n-1•λ•2^b_n=3ⁿ+（-1）^n-1•λ•2ⁿ，
若存在非零整数λ，使得对于任意正整数n，都有d_n+1＞d_n成立，
即3ⁿ⁺¹+（-1）ⁿ•λ•2ⁿ⁺¹＞3ⁿ+（-1）^n-1•λ•2ⁿ，
所以(

3

2

)n-1＞（-1）^n-1•λ恒成立，
当n为奇数时，(

3

2

)n-1＞λ，故λ＜1，
当n为偶数时，(

3

2

)n-1＞-λ，故λ＞-

3

2

，
所以-

3

2

＜λ＜1，λ是非零整数，
所以λ=-1，
即存在非零整数λ=-1，使得对于任意正整数n，都有d_n+1＞d_n成立．

点评：本题主要考查了等差数列的通项公式，以及数列与不等式的综合应用，属于中档题．