题目内容
受日月引力影响，海水会发生涨退潮现象．通常情况下，船在涨潮时驶进港口，退潮时离开港口．某港口在某季节每天港口水位的深度y（米）是时间t（0≤t≤24，单位：小时，t=0表示0：00-零时）的函数，其函数关系式为y=f（t），f（t）=Asin（ωt+φ）+K（A＞0，ω＞0，|φ|＜
）．已知一天中该港口水位的深度变化有如下规律：出现相邻两次最高水位的深度的时间差为12小时，最高水位的深度为12米，最低水位的深度为6米，每天13：00时港口水位的深度恰为10.5米．
（Ⅰ）试求函数y=f（t）的表达式；
（Ⅱ）某货船的吃水深度（船底与水面的距离）为7米，安全条例规定船舶航行时船底与海底的距离不小于3.5米是安全的，问该船在当天的什么时间段能够安全进港？若该船欲于当天安全离港，则它最迟应在当天几点以前离开港口？
| π |
| 2 |
（Ⅰ）试求函数y=f（t）的表达式；
（Ⅱ）某货船的吃水深度（船底与水面的距离）为7米，安全条例规定船舶航行时船底与海底的距离不小于3.5米是安全的，问该船在当天的什么时间段能够安全进港？若该船欲于当天安全离港，则它最迟应在当天几点以前离开港口？
考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
专题：三角函数的图像与性质
分析：（Ⅰ）最高水位为A+K，最低水位为-A+K，联立方程组求得A和K的值，再由出现相邻两次最高水位的深度的时间差为12小时，可知周期为12，由此求得ω值，再结合每天13：00时港口水位的深度恰为10.5米，把点（13，10.5）代入y=Asin（ωx+φ）+K的解析式求得φ，则函数y=f（t）的表达式可求；
（Ⅱ）直接由（Ⅰ）中求得的函数表达式大于等于7+3.5求解t的范围，则答案可求．
（Ⅱ）直接由（Ⅰ）中求得的函数表达式大于等于7+3.5求解t的范围，则答案可求．
解答：
解：（Ⅰ）依题意，
，解得
，
又
=12，
∴ω=
．
又f（13）=10.5，
∴3sin（
+φ）+9=10.5，
∴sin（
+φ）=
．
∵-
＜φ＜
，
∴φ=0，
∴y=f（t）=3sin
t+9；
（Ⅱ）令3sin
t+9≥7+3.5，得sin
t≥
，
∴2kπ+
≤
t≤2kπ+
，
∴12k+1≤t≤12k+5，k∈Z．
∵0≤t≤24，∴1≤t≤5或13≤t≤17．
∴该船当天安全进港的时间为1～5点和13～17点，最迟应在当天的17点以前离开港口．
|
|
又
| 2π |
| ω |
∴ω=
| π |
| 6 |
又f（13）=10.5，
∴3sin（
| 13π |
| 6 |
∴sin（
| π |
| 6 |
| 1 |
| 2 |
∵-
| π |
| 2 |
| π |
| 2 |
∴φ=0，
∴y=f（t）=3sin
| π |
| 6 |
（Ⅱ）令3sin
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| 1 |
| 2 |
∴2kπ+
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| 5π |
| 6 |
∴12k+1≤t≤12k+5，k∈Z．
∵0≤t≤24，∴1≤t≤5或13≤t≤17．
∴该船当天安全进港的时间为1～5点和13～17点，最迟应在当天的17点以前离开港口．
点评：本题是应用题，考查y=Asin（ωx+φ）+K型函数的图象和性质，关键是对题意的理解，是中档题．
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