Question

已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱AA₁⊥底面ABC，∠BAC=90°，∠ACB=45°，CC₁=2AC=4，D为CC₁中点．
（1）证明：A₁D⊥ABD；
（2）求三棱锥A₁-DAB的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明A₁D⊥平面ABD．
（2）利用向量法能求出|

AB

|=2，|

AD

|=2

2

，

AB

•

AD

=0，由此能求出三棱锥A₁-DAB的体积．

解答： （1）证明：∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱AA₁⊥底面ABC，
∠BAC=90°，
∴以A为原点，以AB为x轴，AC为y轴，AA₁为z轴，
建立空间直角坐标系，
∵∠ACB=45°，CC₁=2AC=4，D为CC₁中点，
∴A（0，0，0），A₁（0，0，4），D（0，2，2），
B（2，0，0），
∴

AD

=（0，2，2），

BD

=（-2，2，2），

A1D

=（0，-2，2），
∵

A1D

•

AD

=0，

A1D

•

BD

=0，
∴A₁D⊥AD，A₁D⊥BD，AD∩BD=D，
∴A₁D⊥平面ABD．
（2）解：∵

AB

=（2，0，0），

AD

=（0，2，2），
∴|

AB

|=2，|

AD

|=2

2

，

AB

•

AD

=0，
∴S_△ABD=

1

2

|

AB

|•|

AD

|=

1

2

×2×2

2

=2

2

，
∵A₁D⊥平面ABD，且|

A1D

|=2

2

，
∴三棱锥A₁-DAB的体积：
V=

1

3

×|

A1D

|×S△ABD=

1

3

×2

2

×2

2

=

8

3

．

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．