Question

1．已知函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}|{lnx}|\\ 2-lnx\end{array}\right.$$\begin{array}{l}0＜x≤e\\ x＞e\end{array}$，若正实数a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则a+b+c的取值范围为（　　）

• A． （e，2e+e²）
• B． $（\frac{1}{e}+2e，2+{e^2}）$
• C． $（\frac{1}{e}+e，2+{e^2}）$
• D． $（\frac{1}{e}+e，2e+{e^2}）$

Answer 1

分析 图解法，画出函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}|{lnx}|\\ 2-lnx\end{array}\right.$$\begin{array}{l}0＜x≤e\\ x＞e\end{array}$的图象，根据图象分析可得a+b+c的取值范围．

解答 解：如图，画出函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}|{lnx}|\\ 2-lnx\end{array}\right.$$\begin{array}{l}0＜x≤e\\ x＞e\end{array}$的图象，
设a＜b＜c，则|lna|=|lnb|，
即有lna+lnb=0，即有ab=1，
当x＞e时，y=2-lnx递减，
且与x轴交于（e²，0），
∴e＜c＜e²，
可得$\frac{1}{e}$＜a＜1，
当a趋近于$\frac{1}{e}$时，b，c趋近于e；
当a趋近于1时，b趋近于e，c趋近于e²，
可得a+b+c的取值范围是（$\frac{1}{e}$+2e，2+e²）．
故选：B．

点评 此题是个中档题．考查利用函数图象分析解决问题的能力，以及对数函数图象的特点，体现数形结合的思想．