Question

6．下列函数中，是偶函数且在区间（0，1）上单调递增为的是（　　）

• A． y=ln（x+1）
• B． y=$\frac{1}{2}$x²+cosx
• C． y=x⁴-3x²
• D． y=3x+sinx

Answer 1

分析 根据函数奇偶性的性质，结合函数单调性和导数之间的关系进行判断即可．

解答 解：A．函数的定义域为（-1，+∞），函数为非奇非偶函数，不满足条件．
B．f（-x）=$\frac{1}{2}$（-x）²+cos（-x）=$\frac{1}{2}$x²+cosx=f（x），则函数f（x）是偶函数，函数的导数f′（x）=x-sinx，
则（f′（x））′=1-cosx＞0在（0，1）上恒成立，则f′（x）在（0，1）上为增函数，则f′（x）＞0-sin0=0，即f（x）为增函数，则B满足条件．
C．f（-x）=（-x）⁴-3（-x）²═x⁴-3x²=f（x），则函数f（x）是偶函数，
函数的导数f′（x）═4x³-6x=2x（2x²-6），则当0＜x＜1时，f′（x）＜0恒成立，则函数在（0，1）上不是增函数，不满足条件．
D．f（-x）=-3x-sinx=-（3x+sinx）=-f（x），则函数f（x）是奇函数，不满足条件．
故选：B

点评 本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，根据函数奇偶性的定义，以及可以函数单调性和导数之间的关系是解决本题的关键．