Question

16．设曲线C：f（x）=alnx+bx，f'（x）表示f（x）导函数．已知函数f（x）在x=1处有极值-1
（1）求f（x）的解析式．
（2）数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=2f′（$\frac{1}{{a}_{n}}$）+3．求a₂，a₃，a₄，用不完全归纳法猜想{a_n}的通项公式并用数学归纳法加以证明．
（3）在（2）的基础上用反证法证明：数列{a_n}中不存在任何不同三项成等差数列．

Answer 1

分析 （1）由函数f（x）在x=1处有极值-1，列式计算．
（2）计算前4项，猜出通项，再利用数学归纳法证明；
（3）假设存在不同的三项a_m，a_n，a_p且m＞n＞p（m，n，p∈N*）成等差数列，

解答 解：（1）函数定义域为$（0，+∞），f'（x）=\frac{a}{x}+b$-，
依题意得：f（1）=-1，f'（1）=0，
即：$\left\{\begin{array}{l}b=-1\\ a+b=0\end{array}\right.，解得\left\{\begin{array}{l}a=1\\ b=-1\end{array}\right.$，
∴$f'（x）=\frac{1}{x}-1$，∴f（x）=lnx-x…3；
（2）由（1）得：
∵${a_1}=1，{a_{n+1}}=2f'（\frac{1}{a_n}）+3=2（{a_n}-1）+3=2{a_n}+1$，有：
$\begin{array}{l}{a_2}=2{a_1}+1=3\\{a_3}=2{a_2}+1=7\\{a_4}=2{a_3}+1=15\end{array}$，
猜想：${a_n}=（{2^n}-1），（n∈N*）$---------------5
证明：①当n=1时，a₁=（2-1）=1成立；
②假设当n=k时，${a_k}=（{2^k}-1）$成立，
当n=k+1时，a_k+1=2a_k+1=2（2^k-1）+1=2^k+1-1
所以，当n=k+1时，结论也成立，
综上所述，${a_n}=（{2^n}-1），（n∈N*）$时成立…8
（3）假设存在不同的三项a_m，a_n，a_p且m＞n＞p（m，n，p∈N*）成等差数列，
2a_n=a_m+a_p⇒2×2ⁿ-2=2^m+2^p-2
⇒22ⁿ⁺¹=2^m+2^p⇒2^n+1-p=2^m-p+1，
因为m＞n＞p，∴n+1-p＞0，m-p＞0∴2^n+1-p为偶数，2^m-p+1为奇数，产生矛盾，
所以假设错误，原命题成立．----------------------12

点评 本题考查了函数的解析式的求解、数学归纳法、反证法，考查了归纳推理能力，属于中档题．