Question

11．已知f（x）=（1+$\frac{1}{tanx}$）sin²x-2sin（x+$\frac{π}{4}$）sin（x-$\frac{π}{4}$）．
（Ⅰ）若sinθ+cosθ=$\frac{3}{\sqrt{5}}$，其中$\frac{π}{4}$$＜θ＜\frac{π}{2}$，求f（θ）的值；
（Ⅱ）当$\frac{π}{12}$≤x$≤\frac{π}{2}$时，求函数f（x）的值域．

Answer 1

分析 （Ⅰ）切化弦，利用二倍角和两角和与差以及辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，利用sinθ+cosθ=$\frac{3}{\sqrt{5}}$，其中$\frac{π}{4}$$＜θ＜\frac{π}{2}$，转化思想构造出f（θ），即可求解．
（Ⅱ）当$\frac{π}{12}$≤x$≤\frac{π}{2}$时，求出内层函数的取值范围，结合三角函数的图象和性质，即得到f（x）的值域．

解答 解：函数f（x）=（1+$\frac{1}{tanx}$）sin²x-2sin（x+$\frac{π}{4}$）sin（x-$\frac{π}{4}$）．
化简可得：f（x）=$\frac{sinx+cosx}{sinx}×$sin²x+2sin（x+$\frac{π}{4}$）cos（x+$\frac{π}{4}$）
=sin²x+sinxcosx+sin2（x+$\frac{π}{4}$）
=$\frac{1}{2}-\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{1}{2}$sin2x+cos2x
═$\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{1}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$
=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）$+\frac{1}{2}$．
（Ⅰ）∴f（θ）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2θ+$\frac{π}{4}$）$+\frac{1}{2}$．
∵sinθ+cosθ=$\frac{3}{\sqrt{5}}$，其中$\frac{π}{4}$$＜θ＜\frac{π}{2}$，
∴1+sin2θ=$\frac{9}{5}$，
即sin2θ=$\frac{4}{5}$．
∴cos2θ=$-\frac{3}{5}$．
∴f（θ）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2θ+$\frac{π}{4}$）$+\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$（sin2θ+cos2θ）+$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{5}$
（Ⅱ）当$\frac{π}{12}$≤x$≤\frac{π}{2}$时，
可得：$\frac{5π}{12}≤$2x+$\frac{π}{4}$≤$\frac{5π}{4}$．
当2x+$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$时，f（x）取得最大值为$\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{2}+1}{2}$．
当2x+$\frac{π}{4}$=$\frac{5π}{4}$时，f（x）取得最大值为$\frac{\sqrt{2}}{2}×（-\frac{\sqrt{2}}{2}）+\frac{1}{2}$=0．
故得当$\frac{π}{12}$≤x$≤\frac{π}{2}$时，函数f（x）的值域为[0，$\frac{\sqrt{2}+1}{2}$]．

点评 本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．属于中档题．