Question

11．如图所示，在著名的汉诺塔问题中有三根针和套在一根针上的若干金属片，按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上：①每次只能移动一个金属片；②在每次移动过程中，每根针上较大的金属片不能放在较小的金属片上面．将n个金属片从1号针移到3号针最少需要移动的次数记为f（n），则f（6）=（　　）

• A． 31
• B． 33
• C． 63
• D． 65

Answer 1

分析 根据移动方法与规律发现，随着盘子数目的增多，都是分两个阶段移动，用盘子数目减1的移动次数都移动到2柱，然后把最大的盘子移动到3柱，再用同样的次数从2柱移动到3柱，从而完成，然后根据移动次数的数据找出总的规律求解即可．

解答 解：设f（n）是把n个盘子从1柱移到3柱过程中移动盘子之最少次数
n=1时，f（1）=1；
n=2时，小盘→2柱，大盘→3柱，小柱从2柱→3柱，完成，即h（2）=3=2²-1；
n=3时，小盘→3柱，中盘→2柱，小柱从3柱→2柱，
[用h（2）种方法把中、小两盘移到2柱，大盘3柱；再用h（2）种方法把中、小两盘从2柱3柱，完成]，
f（3）=f（2）×f（2）+1=3×2+1=7=2³-1，
f（4）=f（3）×f（3）+1=7×2+1=15=2⁴-1，
…
以此类推，h（n）=h（n-1）×h（n-1）+1=2ⁿ-1，
∴f（6）=2⁶-1=63．
故选：C．

点评 本题考查了归纳推理、图形变化的规律问题，根据题目信息，得出移动次数分成两段计数是解题的关键．