Question

在平面直角坐标系下，直线C₁：

x=2t+2a y=-t

（t为参数），曲线C₂：

x=2cosθ y=2+sinθ

，（θ为参数），若C₁与C₂有公共点，则实数a的取值是

 

．

Answer 1

考点：参数方程化成普通方程

专题：坐标系和参数方程

分析：首先把曲线C₁，C₂的参数方程均化为普通方程；然后根据C₁，C₂有公共点知，两方程有公共解，联立两方程，消去y或x，得到关于x或y的一元二次方程，由△≥0即可求出a的取值范围．

解答：解：由直线C₁：

x=2t+2a y=-t

（t为参数），
消去参数t，整理得x=2a-2y，…①；
由曲线C₂：

x=2cosθ y=2+sinθ

，（θ为参数），
消去参数θ，得x²+4（y-2）²=4，…②；
将①代入②中，消去x并整理得2y²-2（a+2）y+a²+3=0，
由于C₁，C₂有公共点，所以上面关于y的一元二次方程有实数解，
所以△≥0，即4（a+2）²-4×2×（a²+3）≥0，
整理得a²-4a+2≤0，
解得2-

2

≤a≤2+

2

．
故答案为：[2-

2

，2+

2

]．

点评：本题主要考查圆的参数方程与直角坐标方程的互化，属于基础题，对于两曲线的公共点问题，一般从几何和代数两方面考虑，两种方法各有其优缺点，注意选择使用．