Question

在直角坐标系中，如果两点A（a，b），B（-a，-b）在函数y=f（x）的图象上，那么称[A，B]为函数f（x）的一组关于原点的中心对称点（[A，B]与[B，A]看作一组）．函数g（x）=

sin π 2 x，  x＜0 log4(x+1)，x＞0

关于原点的中心对称点的组数为

 

．

Answer 1

考点：参数方程化成普通方程

专题：计算题,作图题,函数的性质及应用

分析：由[A，B]为函数f（x）的一组关于原点的中心对称点的定义，转化为方程的解，再转化为函数的交点个数，作图得到答案．

解答：解：∵函数g（x）=

sin π 2 x，  x＜0 log4(x+1)，x＞0

，
∴函数g（x）关于原点的中心对称点A，B会分别在g（x）=sin

π

2

x与g（x）=log₄（x+1）上，
不妨设A（a，b）（a＞0）满足g（x）=log₄（x+1），即log₄（a+1）=b，
则sin

π

2

（-a）=-sin

π

2

a=-b，即sin

π

2

a=b，
则a是方程sin

π

2

x=log₄（x+1）在（0，+∞）上的解，
即函数y=sin

π

2

x与函数y=log₄（x+1）在（0，+∞）上交点的横坐标，
函数y=sin

π

2

x与函数y=log₄（x+1）图象如下：

由图可知只有一个交点在（0，+∞）上．
故答案为：1．

点评：本题考查了函数与方程的关系，同时考查了学生对新定义的接受能力与转化能力，属于中档题．