Question

在平面直角坐标系xOy中，l是过定点P（4，2）且倾斜角为α的直线，在以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系（取相同单位长度）中，曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ．
（Ⅰ）写出求直线l的参数方程，并将曲线C的方程化为直角坐标方程；
（Ⅱ）若曲线C与直线l相交于不同的两点M、N，求|PM|+|PN|的取值范围．

Answer 1

考点：参数方程化成普通方程

专题：坐标系和参数方程

分析：对第（Ⅰ）问，根据“

x=x0+tcosα y=y0+tsinα

”直接写出l的参数方程，利用极坐标与直角坐标的转换关系式

ρ2=x2+y2 x=ρcosθ

，可将曲线C的方程化为直角坐标方程；
对第（Ⅱ）问，联立l的参数方程与曲线C的普通方程，消去x与y，得到关于t的一元二次方程，写出|PM|+|PN|关于t及α的表达式，利用韦达定理及α的范围，可探求|PM|+|PN|的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）∵直线l过定点P（4，2），且倾斜角为α，
∴l的参数方程为

x=4+tcosα y=2+tsinα

（t为参数）．
由ρ=4cosθ，得ρ²=4ρcosθ，
将

ρ2=x2+y2 x=ρcosθ

代入上式中，整理得曲线C的普通方程为x²+y²-4x=0．
（Ⅱ）将l的参数方程

x=4+tcosα y=2+tsinα

代入x²+y²=4x中，
得t²+4（sinα+cosα）t+4=0，
由题意有△=16（sinα+cosα）²-16＞0，
得sinα•cosα＞0，∵0≤α＜π，∴sinα＞0，且cosα＞0，从而0＜α＜

π

2

．
设点M，N对应的参数分别为t₁，t₂，
由韦达定理，得t₁+t₂=-4（sinα+cosα）＜0，t₁•t₂=4＞0，
∴t₁＜0，且t₂＜0，
∴|PM|+|PN|=|t₁|+|t₂|=-t₁-t₂=4（sinα+cosα）=4

2

sin(α+

π

4

)．
由0＜α＜

π

2

，得

π

4

＜α＜

3π

4

，
∴

2

2

＜sin(α+

π

4

)≤1，
故|PM|+|PN|的取值范围是(4 ，4

2

]．

点评：1．极坐标方程化直角坐标方程，一般通过两边同时平方，两边同时乘以ρ等方式，构造或凑配ρ²，ρcosθ，ρsinθ，再利用互化公式转化．常见互化公式有ρ²═x²+y²，ρcosθ=x，ρsinθ=y，tanθ=

y

x

等．
2．运用参数方程解题时，应熟练参数方程中各量的含义，即过定点M₀（x₀，y₀）M0，且倾斜角为α的直线的参数方程为“

x=x0+tcosα y=y0+tsinα

”，参数t表示以M₀为起点，直线上任意一点M为终点的向量

M0M

的数量，即当

M0M

沿直线向上时，t=|

M0M

|；当

M0M

沿直线向下时，t=-|

M0M

|．
3．对于曲线C与直线l的相交问题，一般是联立曲线与直线的方程，消去相应的变量，再利用韦达定理求解．