Question

某蔬菜种植公司有相距都很远且规模相等的甲、乙、丙三个独立基地，每个基地都栽种A、B两种不同的蔬菜品种．若天气正常，每个基地中A、B两种蔬菜的产量分别为10万公斤、20万公斤，每公斤的批发价分别为2元、1.5元；若遇到旱涝天气，每个基地中A、B两种蔬菜的产量分别为7万公斤，15万公斤；若甲、乙、丙三个基地中有一地遇旱涝天气，该地A、B两种蔬菜每公斤的批发价分别为3元，2元．甲、乙、丙三个基地天气正常与旱涝天气的概率分别为0.6和0.4，0.6和0.4，0.7和0.3，设蔬菜种植公司栽种A、B两种蔬菜的总产量（单位：万公斤）为ξ，总收入（单位：万元）为η．
（Ⅰ）求ξ的分布列；
（Ⅱ）求η的数学期望．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,离散型随机变量及其分布列

专题：概率与统计

分析：（Ⅰ）设A，B，C分别表示甲、乙、丙三地天气气正常，由题意得P（A）=0.6，P（B）=0.6，P（C）=0.7，ξ的所有可能取值为90，82，74，66，分别求出相应在的概率，能求出ξ的分布列．
（2）由（1）得η的所有可能取值为η₁=150万元，η₂=151万元，η₃=152万元，η₄=153万元，由此能求出Eη．

解答： 解：（Ⅰ）设A，B，C分别表示甲、乙、丙三地天气气正常，
则A，B，C相互独立，
由题意得P（A）=0.6，P（B）=0.6，P（C）=0.7，
ξ的所有可能取值为90，82，74，66，
P（ξ=90）=P（ABC）=0.6²×0.7=0.252，
P（ξ=82）=P（

.

A

BC）+P（A

.

B

C）+P（AB

.

C

）
=0.4×0.6×0.7×2+0.6×0.6×0.3=0.444，
P（ξ=74）=P（A

.

B

.

C

）+P（

.

A

B

.

C

）+P（

.

A

.

B

C）
=0.6×0.4×0.3×2+0.4×0.4×0.7=0.256，
P（ξ=66）=P(

.

A

.

B

.

C

)=0.4×0.4×0.3=0.048，
∴ξ的分布列为：

ξ	90	82	74	66
P	0.252	0.444	0.256	0.048

（2）由（1）得η的所有可能取值为：
η₁=30×2+60×1.5=150万元，
η₂=7×3+15×2+20×2+40×1.5=151万元，
η₃=10×2+20×1.5+14×3+30×2=152万元，
η₄=24×3+45×2=153万元，
∴Eη=150×0.252+151×0.444+152×0.256+153×0.048=151.1（万元）．

点评：本题考查概率、随机变量分布列以及数学期望等基础知识，考查运用概率统计知识解决简单实际问题的能力，是中档题．