Question

7．曲线y=x²和曲线y²=x围成的图形面积是$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 求得交点坐标，利用定积分的性质可知：S=${∫}_{0}^{1}$（$\sqrt{x}$-x²）dx，根据定积分的性质，即可求得图形面积．

解答 解：由$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}}\\{y=\sqrt{x}}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=0}\\{{x}_{2}=1}\end{array}\right.$，
曲线y=x²和曲线y²=x的交点坐标为：（0，0），（1，1），
∴曲线y=x²和曲线y²=x围成的图形面积S=${∫}_{0}^{1}$（$\sqrt{x}$-x²）dx，
∴S=（$\frac{2}{3}$${x}^{\frac{3}{2}}$-$\frac{1}{3}$x³）${丨}_{0}^{1}$=$\frac{2}{3}$-$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{3}$，
故答案为：$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查定积分的性质，考查定积分的定积分应用，考查计算能力，属于中档题．