Question

已知数列{a_n}中，a₁=1，a₂=2，a_na_n+1a_n+2=a_n+a_n+1+a_n+2，则

2007

i=1

ai=

 

．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：分别表示出a_na_n+1a_n+2=a_n+a_n+1+a_n+2，a_n+1a_n+2a_n+3=a_n+1+a_n+2+a_n+3，两式相减可推断出a_n+3=a_n，进而可知数列{a_n}是以3为周期的数列，由此能求出结果．

解答： 解：依题意可知，a_na_n+1a_n+2=a_n+a_n+1+a_n+2，
a_n+1a_n+2a_n+3=a_n+1+a_n+2+a_n+3，
两式相减得a_n+1a_n+2（a_n+3-a_n）=a_n+3-a_n，
∵a_n+1a_n+2≠1，
∴a_n+3-a_n=0，即a_n+3=a_n，
∴数列{a_n}是以3为周期的数列，
∵a₁a₂a₃=a₁+a₂+a₃，
∴a₃=3
∴

2007

i=1

ai=S₂₀₀₇=669×（1+2+3）=4014．
故答案为：4014．

点评：本题主要考查了数列的递推式和数列的求和问题，是中档题，本题的关键是找出数列的周期性．