Question

设关于x的不等式4x²+2（p-2）x-2p²-p+1＞0的解集为A，且A∩[-1，1]≠∅，则实数p的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：一元二次不等式的应用

专题：综合题,函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：关于x的不等式4x²+2（p-2）x-2p²-p+1＞0的解集为A，且A∩[-1，1]≠∅，等价于二次函数f（x）=4x²-2（p-2）x-2p²-p+1，在区间[-1，1]内至少存在一个数c 使得f（c）＞0，其否定是：对于区间[-1，1]内的任意一个x都有f（x）≤0，可得

f(1)≤0 f(-1)≤0

，由此可求实数p的取值范围．

解答： 解：关于x的不等式4x²+2（p-2）x-2p²-p+1＞0的解集为A，且A∩[-1，1]≠∅，
等价于二次函数f（x）=4x²-2（p-2）x-2p²-p+1，在区间[-1，1]内至少存在一个数c 使得f（c）＞0，
其否定是：对于区间[-1，1]内的任意一个x都有f（x）≤0，
∴

f(1)≤0 f(-1)≤0

即

4-2(p-2)-2p2-p+1≤0 4+2(p-2)-2p2-p+1≤0

整理得

2p2+3p-9≥0 2p2-p-1≥0

解得p≥

3

2

，或p≤-3，
∴二次函数在区间[-1，1]内至少存在一个实数c，使f（c）＞0的实数p的取值范围是（-3，

3

2

），
∴所求实数p的取值范围是（-3，

3

2

）．
故答案为：（-3，

3

2

）．

点评：本题考查的知识点是一元二次不等式的应用，其中根据二次函数的图象是开口方向朝上的抛物线，得到对于区间[-1，1]内的任意一个x都有f（x）≤0时，

f(1)≤0 f(-1)≤0

是解答本题的关键．