Question

13．如图，F₁，F₂是椭圆C₁与双曲线C₂的公共焦点，点A是C₁，C₂的公共点．设C₁，C₂的离心率分别是e₁，e₂，∠F₁AF₂=2θ，则（　　）

• A． ${e_1}^2{sin^2}θ+{e_2}^2{cos^2}θ=e_1^2e_2^2$
• B． ${e_2}^2{sin^2}θ+{e_1}^2{cos^2}θ=e_1^2e_2^2$
• C． ${e_2}^2{sin^2}θ+{e_1}^2{cos^2}θ=1$
• D． ${e_1}^2{sin^2}θ+{e_2}^2{cos^2}θ=1$

Answer 1

分析 根据椭圆的几何性质可得，${S}_{△P{F}_{1}{F}_{2}}$=b₁²tanθ，根据双曲线的几何性质可得，${S}_{△P{F}_{1}{F}_{2}}$=$\frac{{b}_{2}^{2}}{tanθ}$，以及离心率以及a，b，c的关系即可求出答案．

解答 解：根据椭圆的几何性质可得，${S}_{△P{F}_{1}{F}_{2}}$=b₁²tanθ，
∵e₁=$\frac{c}{{a}_{1}}$，
∴a₁=$\frac{c}{{e}_{1}}$，
∴b₁²=a₁²-c²=$\frac{{c}^{2}}{{e}_{1}^{2}}$-c²，
∴${S}_{△P{F}_{1}{F}_{2}}$=c²（$\frac{1-{e}_{1}^{2}}{{e}_{1}^{2}}$）tanθ
根据双曲线的几何性质可得，${S}_{△P{F}_{1}{F}_{2}}$=$\frac{{b}_{2}^{2}}{tanθ}$，
∵a₂=$\frac{c}{{e}_{2}}$，
∴b₂²=c²-a₂²=c²-$\frac{{c}^{2}}{{e}_{2}^{2}}$=c²（$\frac{{e}_{2}^{2}-1}{{e}_{2}^{2}}$）
∴${S}_{△P{F}_{1}{F}_{2}}$=c²（$\frac{{e}_{2}^{2}-1}{{e}_{2}^{2}}$）•$\frac{1}{tanθ}$，
∴c²（$\frac{1-{e}_{1}^{2}}{{e}_{1}^{2}}$）tanθ=c²（$\frac{{e}_{2}^{2}-1}{{e}_{2}^{2}}$）•$\frac{1}{tanθ}$，
∴（$\frac{1-{e}_{1}^{2}}{{e}_{1}^{2}}$）sin²θ=（$\frac{{e}_{2}^{2}-1}{{e}_{2}^{2}}$）•cos²θ，
∴${e_2}^2{sin^2}θ+{e_1}^2{cos^2}θ=e_1^2e_2^2$，
故选：B

点评 本题考查了圆锥曲线的几何性质，以及椭圆和双曲线的简单性质，属于中档题．