Question

已知f（x）=ax³+bx²+cx（a≠0），在x=±1时取得极值，且f（1）=-1．
（1）试求函数f（x）的表达式；
（2）试判断f（x=±1）是函数的极小值还是极大值，并说明理由．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,函数解析式的求解及常用方法

专题：计算题,导数的综合应用

分析：（1）求导，由题意得方程组，解方程组即可；（2）求导并判断导数的正负，由导数的正负判断是极大值还是极小值．

解答： 解：（1）∵f（x）=ax³+bx²+cx，
∴f′（x）=3ax²+2bx+c；
则由题意可得，

f′(1)=3a+2b+c=0 f′(-1)=3a-2b+c=0 f(1)=a+b+c=-1

，
解得，a=

1

2

，b=0，c=-

3

2

．
∴f（x）=

1

2

x³-

3

2

x．
（2）∵f′（x）=

3

2

（x²-1）=

3

2

（x-1）（x+1），
∴当x＜-1，或x＞1时，f'（x）＞0；当-1＜x＜1时，f'（x）＜0，
∴f（-1）是极大值，f（1）是极小值．

点评：本题考查了导数的综合应用，属于基础题．