Question

【题目】如图，四棱锥的底面为平行四边形，平面平面， ,.

（Ⅰ）求证: ；

（Ⅱ）若三角形是边长为的等边三角形，求三棱锥外接球的表面积.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）.

【解析】试题分析：（Ⅰ）本问证明线线垂直，可以先证线面垂直，再证线线垂直，即证明AB垂直于PC所在平面，过P作于，根据面面垂直性质定理可知，PO面，易知POAB，再证明OCAB即可；（Ⅱ）求三棱锥的外接球，关键是找到外接球的球心，因为三角形是边长为的等边三角形，设E为三角形的重心，显然EP=EA=EB，再通过证明EC=EB，于是可以得出EA=EB=EC=EP，则可以说明E为外接球的球心，于是可以求外接球半径，再求三棱锥外接球的表面积.

试题解析: （Ⅰ）作于……①,连接，

∵平面平面，且 ，

∴面.

∵，∴,∴，

又∵，∴……②

又,由①②，得面，

又面，∴.

（Ⅱ）∵三角形是边长为的等边三角形，∴.

∵面， ,线段上取点，∴,

是外接球的球心，设三棱锥外接球的半径为，

, , ， ,

∴.