Question

【题目】已知指数函数y=g（x）满足：g（2）=4，定义域为R的函数f（x）=是奇函数．
（1）确定y=g（x）的解析式；
（2）求m，n的值；
（3）若对任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（1）∵指数函数y=g（x）满足：g（2）=4，
∴g（x）=2x；
（2）由（1）知：f（x）=是奇函数．
因为f（x）是奇函数，所以f（0）=0，即，∴n=1；
∴f（x）=，又由f（1）=﹣f（﹣1）知
，∴m=2；
（3）由（2）知f（x）==-+，
易知f（x）在（﹣∞，+∞）上为减函数．
又因f（x）是奇函数，从而不等式：
f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0等价于f（t2﹣2t）＜﹣f（2t2﹣k）=f（k﹣2t2），
因f（x）为减函数，由上式推得：t2﹣2t＞k﹣2t2 ，
即对一切t∈R有：3t2﹣2t﹣k＞0，
从而判别式△=4+12k＜0，解得：k＜-．
【解析】（1）根据指数函数y=g（x）满足：g（2）=4，即可求出y=g（x）的解析式；
（2）由题意知f（0）=0，f（1）=﹣f（﹣1），解方程组即可求出m，n的值；
（3）由已知易知函数f（x）在定义域f（x）在（﹣∞，+∞）上为减函数．我们可将f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0转化为一个关于实数t的不等式组，解不等式组，即可得到实数t的取值范围．
【考点精析】解答此题的关键在于理解奇偶性与单调性的综合的相关知识，掌握奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性．