Question

1．若函数e^xf（x）（e≈2.71828…是自然对数的底数）在f（x）的定义域上单调递增，则称函数f（x）具有M性质．下列函数中所有具有M性质的函数的序号为①④．
①f（x）=2^-x   ②f（x）=3^-x       ③f（x）=x³  ④f（x）=x²+2．

Answer 1

分析 把①②代入e^xf（x），变形为指数函数判断；把③④代入e^xf（x），求导数判断．

解答 解：对于①，f（x）=2^-x，则g（x）=e^xf（x）=${e}^{x}•{2}^{-x}=（\frac{e}{2}）^{x}$为实数集上的增函数；
对于②，f（x）=3^-x，则g（x）=e^xf（x）=${e}^{x}•{3}^{-x}=（\frac{e}{3}）^{x}$为实数集上的减函数；
对于③，f（x）=x³，则g（x）=e^xf（x）=e^x•x³，
g′（x）=e^x•x³+3e^x•x²=e^x（x³+3x²）=e^x•x²（x+3），当x＜-3时，g′（x）＜0，
∴g（x）=e^xf（x）在定义域R上先减后增；
对于④，f（x）=x²+2，则g（x）=e^xf（x）=e^x（x²+2），
g′（x）=e^x（x²+2）+2xe^x=e^x（x²+2x+2）＞0在实数集R上恒成立，
∴g（x）=e^xf（x）在定义域R上是增函数．
∴具有M性质的函数的序号为①④．
故答案为：①④．

点评 本题考查函数单调性的性质，训练了利用导数研究函数的单调性，是中档题．