Question

13．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左焦点为F，离心率为$\sqrt{2}$．若经过F和P（0，4）两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为（　　）

• A． $\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{4}$=1
• B． $\frac{{x}^{2}}{8}-\frac{{y}^{2}}{8}$=1
• C． $\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{8}$=1
• D． $\frac{{x}^{2}}{8}-\frac{{y}^{2}}{4}$=1

Answer 1

分析 由双曲线的离心率为$\sqrt{2}$，则双曲线为等轴双曲线，即渐近线方程为y=±x，根据直线的斜率公式，即可求得c的值，求得a和b的值，即可求得双曲线方程．

解答 解：设双曲线的左焦点F（-c，0），离心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{2}$，c=$\sqrt{2}$a，
则双曲线为等轴双曲线，即a=b，
双曲线的渐近线方程为y=±$\frac{b}{a}$x=±x，
则经过F和P（0，4）两点的直线的斜率k=$\frac{4-0}{0+c}$=$\frac{4}{c}$，
则$\frac{4}{c}$=1，c=4，则a=b=2$\sqrt{2}$，
∴双曲线的标准方程：$\frac{{x}^{2}}{8}-\frac{{y}^{2}}{8}=1$；
故选B．

点评 本题考查双曲线的简单几何性质，等轴双曲线的应用，属于中档题．