Question

设函数f（x）=

x+sinx

x

．
（1）判断f（x）在区间（0，π）上的增减性并证明；
（2）设0＜a＜1，0＜x＜π，求证：（2a-1）sinx+（1-a）sin（1-a）x＞0．

Answer 1

考点：综合法与分析法(选修）

专题：证明题,综合法

分析：（1）对函数f（x）求导数，得f′（x）=

xcosx-sinx

x2

，再讨论分子对应函数的单调性，得f′（x）的分子最大值小于0，从而得到f′（x）＜0在区间（0，π）上恒成立，所以f（x）是区间（0，π）上的减函数；
（2）为了证明原不等式，利用（1）中的单调性，证明出不等式（1-a）sin（1-a）x≥（1-2a+a²）sinx区间（0，π）上恒成立．结合（1-2a+a²）sinx≥（1-2a）sinx得（1-a）sin（1-a）x≥（1-2a）sinx，移项整理即得原不等式成立．

解答： 解：（1）∵f（x）=

x+sinx

x

，∴f′（x）=

xcosx-sinx

x2

设g（x）=xcosx-sinx，x∈（0，π）．则g′（x）=-xsinx＜0
∴g（x）在（0，π）上为减函数 
 又∵g（0）=0，∴当x∈（0，π）时，g（x）＜0，
∴当x∈（0，π）时，f′（x）=

g(x)

x2

＜0，可得f（x）在区间（0，π）上是减函数； …（5分）
（2）当0＜a＜1且0＜x＜π时，原不等式等价于：（1-a）sin（1-a）x≥（1-2a）sinx．
下面证明一个更强的不等式：（1-a）sin（1-a）x≥（1-2a+a²）sinx．…①
即sin（1-a）x≥（1-a）sinx．…②
亦即

sin(1-a)x

(1-a)x

≥

sinx

x

由（1）知

sinx

x

在（0，π）上为减函数 
 又∵（1-a）x≤x，∴

sin(1-a)x

(1-a)x

≥

sinx

x

，得不等式②成立，从而①成立
∵（1-2a+a²）sinx≥（1-2a）sinx．
∴（1-a）sin（1-a）x≥（1-2a）sinx．
综上所述，得0＜a＜1，0＜x＜π时，原不等式成立．…（12分）

点评：本题给出含三角函数的分式函数，求函数的单调性并证明不等式恒成立，着重考查了利用导数研究函数的单调性和不等式恒成立等知识，属于中档题．