Question

设命题p：对任意实数x，不等式x²-2x＞m恒成立；命题q：方程

x2

m-3

+

y2

5-m

=1表示焦点在x轴上的双曲线，
（Ⅰ）若命题q为真命题，求实数m的取值范围；
（Ⅱ）若命题“p或q”为真命题，且“p且q”为假命题，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：复合命题的真假

专题：简易逻辑

分析：（1）命题q：方程

x2

m-3

+

y2

5-m

=1表示焦点在x轴上的双曲线，可得

m-3＞0 5-m＜0

，解得m即可．
（2）若命题p真，即对任意实数x，不等式x²-2x＞m恒成立，k可得m＜（x²-2x）_min，利用二次函数的单调性可得m＜-1．由p∨q为真命题，p∧q为假命题，可得p真q假，或p假q真．

解答： 解：（1）命题q：方程

x2

m-3

+

y2

5-m

=1表示焦点在x轴上的双曲线，
则

m-3＞0 5-m＜0

，解得m＞5．
即命题q为真命题时，实数m的取值范围是m＞5；
（2）若命题p真，即对任意实数x，不等式x²-2x＞m恒成立，
∴m＜（x²-2x）_min，∵（x-1）²-1≥-1，
∴m＜-1．
∵p∨q为真命题，p∧q为假命题，即p真q假，或p假q真，
如果p真q假，则

m＜-1 m≤5

，解得m＜-1；
如果p假q真，则

m≥-1 m＞5

，解得m＞5；
所以实数m的取值范围为m＜-1或m＞5．

点评：本题考查了简易逻辑的判定、双曲线的标准方程、二次函数的单调性，考查了计算能力，属于基础题．