Question

已知函数f（x）=x²，对任意实数t，g_t（x）=-tx+1．
（1）h（x）=g_t（x）-

x

f(x)

在（0，3]上是单调递增的，求实数t的取值范围；
（2）若mf（x）＜g₂（x）对任意x∈(0，

1

3

]恒成立，求正数m的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（1）把f（x）和g_t（x）代入h（x）=g_t（x）-

x

f(x)

，利用增函数的定义设0＜x₁＜x₂≤3，由h（x₁）-h（x₂）小于0恒成立求解t的取值范围；
（2）由mf（x）＜g₂（x），得到得mx²＜（-2x+1），转化为m＜

1

x2

-

2

x

，分离变量m后配方求得最小值得答案．

解答： 解 （1）由已知得，h(x)=

x

f(x)

-gt(x)=

1

x

+tx-1，
设0＜x₁＜x₂≤3，
则h(x1)-h(x2)=(

1

x1

+tx1-1)-(

1

x2

+tx2-1)=

(x2-x1)(1-tx1x2)

x1x2

，
要使h（x）在（0，3]上是单调递减的，必须h（x₁）-h（x₂）＞0恒成立．
∵x₂-x₁＞0，0＜x₁x₂＜9，
∴1-tx₁x₂＞0恒成立，即t＜

1

x1x2

恒成立，
∵x1x2＞

1

9

，∴t≤

1

9

，
∴实数t的取值范围是(-∞，

1

9

]．
（2）由mf（x）＜g₂（x），得mx²＜（-2x+1），①
∵m＞0且x∈(0，

1

3

]，
∴①式可化为m＜

1

x2

-

2

x

，②
要使②对任意x∈(0，

1

3

]恒成立，只需m＜(

1

x2

-

2

x

)min，x∈(0，

1

3

]，
∵

1

x2

-

2

x

=(

1

x

-1)2-1，
∴当x=

1

3

时，y=

1

x2

-

2

x

取最小值3，
∴m＜3，
又m＞0，0＜m＜3．
故正数m的取值范围是（0，3）．

点评：本题考查了函数单调性的性质，训练了函数单调性的证明方法，考查了分离变量法求参数的取值范围，是中档题．