Question

已知函数f（x）=lnx+

2a

x

，a∈R．
（1）若a=1，求函数f（x）的极值；
（2）若函数f（x）在[2，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性

专题：计算题,导数的综合应用

分析：首先确定函数的定义域，
（1）将a=1代入表达式并求导，由导数的正负确定函数的单调性，从而求极值；
（2）求导，函数f（x）在[2，+∞）上是增函数可化为

x-2a

x2

≥0在[2，+∞）上恒成立，从而求实数a的取值范围．

解答： 解：函数f（x）=lnx+

2a

x

的定义域为（0，+∞），
（1）若a=1，f（x）=lnx+

2

x

，
f′（x）=

1

x

-

2

x2

=

x-2

x2

，
故f（x）在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，
故函数f（x）在x=2时有极小值f（2）=ln2+1；
（2）∵f′（x）=

1

x

-

2a

x2

=

x-2a

x2

，
又∵函数f（x）在[2，+∞）上是增函数，
∴

x-2a

x2

≥0在[2，+∞）上恒成立，
即x-2a≥0在[2，+∞）上恒成立，
即2a≤2，故a≤1．

点评：本题考查了导数的综合应用，同时考查了恒成立问题的处理方法，属于中档题．