Question

如图所示，已知函数 y=log₂4x图象上的两点 A、B 和函数 y=log₂x上的点 C，线段 AC平行于 y 轴，三角形 ABC 为正三角形时，点B的坐标为 （p，q），则 p²×2^q的值为

 

．

Answer 1

考点：对数函数的图像与性质

专题：函数的性质及应用

分析：根据题意，设出A、B、C的坐标，由线段AC∥y轴，△ABC是等边三角形，得出AB、AC与BC的关系，求出p、q的值，计算出结果．

解答： 解：根据题意，设A（x₀，2+log₂x₀），B（p，q），C（x₀，log₂x₀），
∵线段AC∥y轴，△ABC是等边三角形，
∴AC=2，2+log₂p=q，
∴p=2^q-2，∴4p=2^q；
又x₀-p=

3

，∴p=x₀-

3

，
∴x₀=p+

3

；
又2+log₂x₀-q=1，
∴log₂x₀=q-1，x₀=2^q-1=

2q

2

；
∴p+

3

=

2q

2

，2p+2

3

=2^q=4p，
∴p=

3

，2^q=4

3

；
∴p²•2^q=3×4

3

=12

3

．
故答案为：12

3

．

点评：本题考查了指数函数与对数函数的图象与性质的应用问题，也考查了指数，对数的运算问题，是较难的题目．