Question

已知直线l是y=sinx+3cosx在x=

π

4

处的切线，点（sinn

π

2

，an+

2 π

4

）在直线l上，则数列{a_n}的前30项和为

 

．

Answer 1

考点：数列与三角函数的综合,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：等差数列与等比数列

分析：由导数的几何意义求出直线l的方程为y=-

2

（x-

π

4

）+2

2

，把点（sinn

π

2

，an+

2 π

4

）代入直线l，得a_n=2

2

-

2

sin

nπ

2

，由sin

nπ

2

的取值是1，0，-1，0的循环，能求出数列{a_n}的前30项和．

解答： 解：∵y=sinx+3cosx，∴y|

π

4

=sin

π

4

+3cos

π

4

=2

2

，
y′=cosx-3sinx，y′|

π

4

=cos

π

4

-3sin

π

4

=-

2

，
∵直线l是y=sinx+3cosx在x=

π

4

处的切线，
∴直线l的方程为y=-

2

（x-

π

4

）+2

2

，
∵点（sinn

π

2

，an+

2 π

4

）在直线l上，
∴a_n=2

2

-

2

sin

nπ

2

，
sin

nπ

2

的取值是1，0，-1，0的循环，
∴数列{a_n}的前30项和：
S₃₀=30×2

2

-

2

[7（1+0-1+0）+1+0]=59

2

．
故答案为：59

2

．

点评：本题考查数列的前30项和的求法，是中档题，解题时要注意导数的几何意义、三角函数的周期性的合理运用．