Question

15．设F₁，F₂是椭圆C₁：$\frac{x^2}{{{a_1}^2}}+\frac{y^2}{{{b_1}^2}}$=1（a₁＞b₁＞0）与双曲线C₂：$\frac{x^2}{{{a_2}^2}}-\frac{y^2}{{{b_2}^2}}$=1（a₂＞0，b₂＞0）的公共焦点，曲线C₁，C₂在第一象限内交于点M，∠F₁MF₂=90°，若椭圆C₁的离心率e₁∈[$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，1），则双曲线C₂的离心率e₂的范围是（　　）

• A． $（{1，\sqrt{3}}]$
• B． $（{1，\sqrt{2}}]$
• C． $[{\sqrt{3}，+∞}）$
• D． $[{\sqrt{2}，+∞}）$

Answer 1

分析 设MF₁=s，MF₂=t，由椭圆的定义可得s+t=2a₁，由双曲线的定义可得s-t=2a₂，运用勾股定理和离心率公式，计算即可得到所求范围．

解答 解：设MF₁=s，MF₂=t，由椭圆的定义可得s+t=2a₁，
由双曲线的定义可得s-t=2a₂，
解得s=a₁+a₂，t=a₁-a₂，
由∠F₁MF₂=90°，运用勾股定理，可得
s²+t²=4c²，
即为a₁²+a₂²=2c²，
由离心率的公式可得，$\frac{1}{{{e}_{1}}^{2}}+\frac{1}{{{e}_{2}}^{2}}=2$，
由e₁∈[$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，1），可得${{e}_{1}}^{2}$∈[$\frac{2}{3}$，1），
即有2-$\frac{1}{{{e}_{1}}^{2}}$∈[$\frac{1}{2}$，1），
解得e₂∈（1，$\sqrt{2}$]．
故选：B．

点评 本题考查椭圆和双曲线的定义、方程和性质，主要考查离心率的求法，考查运算能力，属于中档题．