Question

已知函数f（x）和g（x）的图象关于原点对称，且f（x）=x²+2x．若函数h（x）=g（x）-λf（x）+1在[-1，1]上是增函数，求实数λ的取值范围．

Answer 1

考点：函数单调性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：根据已知条件可求得g（x）=-x²+2x，所以h（x）=（-1-λ）x²+（2-2λ）x+1，λ=-1时，h（x）=4x+1，在[-1，1]上是增函数；λ≠-1时，根据二次函数的单调性即可求得λ的范围，合并λ=-1即得λ的取值范围．

解答： 解：根据已知条件知，g（-x）=-f（x）=-x²-2x=-（-x）²+2（-x）；
∴g（x）=-x²+2x；
∴h（x）=-x²+2x-λ（x²+2x）+1=（-1-λ）x²+（2-2λ）x+1；
即h（x）=（-1-λ）x²+（2-2λ）x+1；
①若λ=-1，h（x）=4x+1，满足在[-1，1]上是增函数；
②若λ≠-1，h（x）是二次函数，对称轴为x=

1-λ

1+λ

；
∴

-1-λ＞0 1-λ 1+λ ≤-1

，或

-1-λ＜0 1-λ 1+λ ≥1

；
解得λ＜-1，或-1＜λ≤0；
综上得实数λ的取值范围为（-∞，0]．

点评：考查根据原点对称的点的坐标的特点，以及一次函数、二次函数的单调性，二次函数的对称轴．