Question

已知函数y=f（x）是函数y=log₂x的反函数，
（Ⅰ）求y=f（x）的解析式．
（Ⅱ）若x∈（0，+∞），试分别写出使不等式
（ⅰ）log₂x＜2^x＜x²
（ⅱ）log₂x＜x²＜2^x成立自变量x的取值范围
（Ⅲ）求不等式log_a（x-3）＞log_a（5-x）的解集．

Answer 1

考点：反函数

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）根据指数对数函数的关系判断，
（Ⅱ）画出图象y=2^x，y=x²，y=log₂x，判断log₂x＜2^x＜x²，log₂x＜x²＜2^x，解集．
（Ⅲ）分类当a＞1时，

x-3＞0 5-x＞0 x-3＞5-x

当0＜a＜1时，

x-3＞0 5-x＞0 x-3＜5-x

，
解得即可．

解答： 解：（Ⅰ）∵函数y=f（x）是函数y=log₂x的反函数，
∴f（x）=2^x，
（Ⅱ）y=2^x，y=x²，y=log₂x，
可得：2²=4，2⁴=4²=16，
（i）∵log₂x＜2^x＜x²
∴2＜x＜4，
解集为：（2，4）
（ii）∵log₂x＜x²＜2^x，
∴0＜x＜2，或x＞4，
解集为：（0，2）∪（4，+∞）
（Ⅲ）∵log_a（x-3）＞log_a（5-x）
∴当a＞1时，

x-3＞0 5-x＞0 x-3＞5-x

解得；4＜x＜5，
∴当a＞1时，解集为（4，5）
∵当0＜a＜1时，

x-3＞0 5-x＞0 x-3＜5-x

，解得；3＜x＜4，
∴当0＜a＜1时，解集为（3，4）

点评：本题考查了函数的性质图象，不等式的求解，分类讨论，属于中档题．