Question

已知函数f（x）=

log2x-1

log2x+1

，x∈（1，+∞）
（1）若关于x的方程f（x）=a有解，求实数a的取值范围；
（2）若f（x₁）+f（x₂）=0，求f（x₁x₂）的最小值．

Answer 1

考点：函数的零点,函数的最值及其几何意义

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）由题意，利用分离常数法化简f（x）=

log2x-1

log2x+1

=1-

2

log2x+1

，从而求函数f（x）的值域，进而求实数a的取值范围；
（2）由题意，化f（x₁）+f（x₂）=0为log₂x₁•log₂x₂=1，从而利用基本不等式可得log₂x₁+log₂x₂≥2，即x₁x₂≥4，借助函数的单调性求最小值．

解答： 解：（1）∵f（x）=

log2x-1

log2x+1

=1-

2

log2x+1

，
又∵x∈（1，+∞），
∴log₂x+1＞1，
∴0＜

2

log2x+1

＜2，
故-1＜1-

2

log2x+1

＜1，
故若关于x的方程f（x）=a有解，则-1＜a＜1；
（2）由（1）知，函数f（x）=

log2x-1

log2x+1

在（1，+∞）上是增函数，
∵f（x₁）+f（x₂）=0，
∴log₂x₁•log₂x₂=1，
又∵（

log2x1+log 2x2

2

）²≥log₂x₁•log₂x₂=1，
（当且仅当log₂x₁=log₂x₂=1时，等号成立）
∴log₂x₁+log₂x₂≥2，
即x₁x₂≥4，
则f（x₁x₂）_min=f（4）=

2-1

2+1

=

1

3

．

点评：本题考查了函数与方程的关系，同时考查了函数的值域的求法及基本不等式的应用，属于中档题．