Question

圆C：x²+y²=8内有一点P₀（-1，2），AB为过点P₀，且倾斜角为α的弦
（Ⅰ）当α=

3π

4

时，求|AB|；
（Ⅱ）当|AB|最短时，求直线AB的方程．

Answer 1

考点：直线和圆的方程的应用

专题：直线与圆

分析：（1）直线AB的斜率k=tan

3π

4

=-1，从而直线AB的方程为x+y-1=0，由此能求出弦长|AB|．
（2）当|AB|最短时P₀为AB的中点，OA=OB=r，由此能求出直线AB的方程．

解答： 解：（1）直线AB的斜率k=tan

3π

4

=-1，
∴直线AB的方程为y-2=-（x+1），即x+y-1=0
∵圆心O（0，0）到直线AB的距离d=

|-1|

2

=

2

2

，
∴弦长|AB|=2

r2-d2

=2

8- 1 2

=

30

．
（2）当|AB|最短时P₀为AB的中点，OA=OB=r，
∴OP₀⊥AB
又kOP0=

2-0

-1-0

=-2，∴k_AB=

1

2

，
∴直线AB的方程为y-2=

1

2

（x+1），即x-2y+5=0．

点评：本题考查弦长的求法，考查直线方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式和圆的性质的合理运用．