Question

19．已知函数f（x）=$\sqrt{3}$sinxcosx-sin²x-2cos²x，x∈R．
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间；
（2）函数y=f（x）的图象向右移动$\frac{π}{12}$个单位长度后得到以y=g（x）的图象，求y=g（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角的正弦公式、余弦公式变形，两角差的正弦公式化简解析式，由三角函数的周期公式求出
f（x）的最小正周期，由正弦函数的减区间求出f（x）的递减区间；
（2）由三角函数图象平移法则求出g（x），由x的范围求出$2x-\frac{π}{3}$的范围，由正弦函数的图象与性质求出
f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值和最小值．

解答 解：（1）由题意得，
$f（x）=\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2x-1-\frac{1+cos2x}{2}=sin（2x-\frac{π}{6}）-\frac{3}{2}$，
由T=$\frac{2π}{2}$=π得，所以f（x）的最小正周期是π，
由$\frac{π}{2}+2kπ≤2x-\frac{π}{6}≤\frac{3π}{2}+2kπ（k∈Z）$得，
$\frac{π}{3}+kπ≤x≤\frac{5π}{6}+kπ（k∈Z）$，
∴f（x）的单调递减区间是$[\frac{π}{3}+kπ，\frac{5π}{6}+kπ]（k∈Z）$；
（2）由题意和（1）得，$g（x）=sin（2x-\frac{π}{3}）-\frac{3}{2}$，
∵$0≤x≤\frac{π}{2}$，∴$-\frac{π}{3}≤2x-\frac{π}{3}≤\frac{2π}{3}$，
∴当$2x-\frac{π}{3}=-\frac{π}{3}$，即x=0时，g（x）取到最小值是$g{（x）}_{min}=-\frac{3+\sqrt{3}}{2}$，
当$2x-\frac{π}{3}=\frac{π}{2}$即x=$\frac{5π}{12}$时，g（x）取到最大值$g{（x）}_{max}=-\frac{1}{2}$．

点评 本题考查正弦函数的图象与性质，三角函数的周期公式，三角函数图象平移变换法则，以及三角恒等变换中的公式，考查整体思想，化简、变形能力．