Question

4．给出命题：
①在空间中，垂直于同一平面的两个平面平行；
②设l，m是不同的直线，α是一个平面，若l⊥α，l∥m，则m⊥α；
③已知α，β表示两个不同平面，m为平面α内的一条直线，“α⊥β”是“m⊥β”的充要条件；
④在三棱锥S-ABC中，SA⊥BC，SB⊥AC，则S在平面ABC内的射影是△ABC的垂心；
⑤a，b是两条异面直线，P为空间一点，过P总可以作一个平面与a，b之一垂直，与另一条平行．
其中，正确的命题是②④．（只填序号）

Answer 1

分析 ①根据线面垂直的性质进行判断，
②根据线面垂直的判定定理进行判断，
③根据面面垂直和线面垂直的关系以及充分条件和必要条件的定义进行判断，
④根据线面垂直的性质结合三角形垂线的性质进行判断，
⑤根据异面直线的性质以及线面平行和线面垂直的性质进行判断．

解答 解：①在空间中，垂直于同一平面的两个平面平行或相交，故①错误；
②设l，m是不同的直线，α是一个平面，若l⊥α，l∥m，根据直线平行和线面垂直的性质得m⊥α；故②正确，
③已知α，β表示两个不同平面，m为平面α内的一条直线，根据面面垂直的判定定理得若m⊥β，则α⊥β，反之，不一定成立，即，“α⊥β”是“m⊥β”的必要不充分条件，故③错误；
④在三棱锥S-ABC中，过S作SO⊥平面ABC，连接AO，BO，
则SO⊥BC，
∵SA⊥BC，SA∩AO=A，
∴BC⊥平面SAO，BC⊥AO，
∵SB⊥AC，∴同理可得AC⊥BO，
即S在平面ABC内的射影是△ABC的垂心；故④正确，

⑤a，b是两条异面直线，P为空间一点，过P总可以作一个平面与a，b之一垂直，与另一条平行，错误．
只有当a，b垂直时，才能作出满足条件的平面，否则无法作出，故⑤错误，
故正确的是②④，
故答案为：②④．

点评 本题主要考查命题的真假判断，涉及空间线面平行，垂直以及异面直线的性质的应用，考查学生的推理和证明能力．