Question

9．如图，长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=2，BC=CC₁=1，点P是CD上一点，PC=tPD．
（1）若t=$\frac{1}{3}$，求证：A₁C⊥平面PBC₁；
（2）设t=1，t=3所对应的点P分别为点P₁，P₂，求二面角P₁-BC₁-P₂的平面角的余弦值．

Answer 1

分析 法一：（1）当$t=\frac{1}{3}$时，得$PC=\frac{1}{2}$，推导出AC⊥PB，A₁C⊥PB，BC₁⊥A₁C，由此能证明A₁C⊥平面PBC₁．
（2）过C作CH⊥BC₁交BC₁于H，连接P₁H，P₂H，则∠P₁HP₂就是所求二面角的一个平面角，由此能求出二面角P₁-BC₁-P₂的平面角的余弦值．
解法二：
（1）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立如图空间直角坐标系O-xyz，利用向量法能证明A₁C⊥平面PBC₁．
（Ⅱ）求出平面BC₁P₁与平面BC₁P₂的法向量，利用向量法能求出二面角P₁-BC₁-P₂的余弦值．

解答 解法一：
证明：（1）当$t=\frac{1}{3}$时，得$PC=\frac{1}{2}$，
在矩形ABCD中，$\frac{CP}{BC}=\frac{BC}{AB}$，则AC⊥PB
又∵PB⊥AA₁，∴PB⊥平面AA₁C，∴A₁C⊥PB，…（3分）
∵$\left\{\begin{array}{l}B{C_1}⊥{B_1}C\\ B{C_1}⊥{A_1}{B_1}\end{array}\right.$，∴BC₁⊥平面A₁B₁C，故BC₁⊥A₁C，
∴A₁C⊥平面PBC₁…（6分）
解：（2）过C作CH⊥BC₁交BC₁于H，连接P₁H，P₂H，
∵BC₁⊥平面A₁B₁C，∴BC₁⊥P₁H，BC₁⊥P₂H，
则∠P₁HP₂就是所求二面角的一个平面角α…（9分）
∵P₁C=1，${P_2}C=\frac{3}{2}$，$CH=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$’∵CD⊥CH
在Rt△P₁CH中，$tan∠{P_1}HC=\frac{3}{{\sqrt{2}}}$，在Rt△P₂CH中，$tan∠{P_2}HC=\sqrt{2}$…（10分）
tanα=tan（∠P₂HC-∠P₁HC）=$\frac{{\sqrt{2}}}{8}$，
故二面角P₁-BC₁-P₂的平面角的余弦值$cosα=\frac{{4\sqrt{2}}}{{\sqrt{33}}}=\frac{{4\sqrt{66}}}{33}$．…（12分）
解法二：
证明：（1）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立如图空间直角坐标系O-xyz，
B（1，2，0），C₁（0，2，1），A₁（1，0，1），C（0，2，0）$P（0，\frac{3}{2}，0）$，
$\overrightarrow{{A}_{1}C}$=（-1，2，-1），$\overrightarrow{B{C}_{1}}$=（-1，0，1），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{{A}_{1}C}•\overrightarrow{BP}=0}\\{\overrightarrow{{A}_{1}C}•\overrightarrow{B{C}_{1}}=0}\end{array}\right.$，∴A₁C⊥PB，BC⊥A₁C，
∵PB∩BC=B，∴A₁C⊥平面PBC₁…（6分）
（Ⅱ）P₁（0，1，0），${P_2}（0，\frac{1}{2}，0）$，∴$\overrightarrow{B{P_1}}=（-1，-1，0）$，∴$\overrightarrow{B{P_2}}=（{-1，-\frac{3}{2}，0}）$
设平面BC₁P₁与平面BC₁P₂的法向量分别是$\overrightarrow{{n}_{1}}=（x，y，z），\overrightarrow{{n}_{2}}=（a，b，c）$
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{B{P}_{1}}=-x-y=0}\\{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{B{C}_{1}}=-x+z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{{n}_{1}}$=（1，-1，1），
$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{{n}_{2}}•\overrightarrow{B{P}_{2}}=-a-\frac{3}{2}b=0}\\{\overrightarrow{{n}_{2}}•\overrightarrow{B{C}_{1}}=-x+z=0}\end{array}\right.$，取x=3，得$\overrightarrow{{n}_{2}}=（3，-2，3）$，
设二面角P₁-BC₁-P₂的平面角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{{n}_{2}}|}{|\overrightarrow{{n}_{1}}|•|\overrightarrow{{n}_{2}}|}$=$\frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{33}}=\frac{4\sqrt{66}}{33}$．
∴二面角P₁-BC₁-P₂的平面角的余弦值为$\frac{4\sqrt{66}}{33}$．…（12分）

点评 本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．