Question

已知向量

m

=（2sinθ，sinθ+cosθ），

n

=（cosθ，-2-m），函数f（θ）=

m

•

n

的最小值为g（m）（m∈R）
（1）当m=1时，求g（m）的值；
（2）求g（m）；
（3）已知函数h（x）为定义在R上的增函数，且对任意的x₁，x₂都满足h（x₁+x₂）=h（x₁）+h（x₂）问：是否存在这样的实数m，使不等式h（f（θ））-h（

4

sinθ+cosθ

）+h（3+2m）＞0对所有θ∈[0，

π

2

]恒成立，若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,平面向量数量积的运算

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）把m=1，代入相应的向量坐标表示式，然后，利用向量数量积的坐标表示，化简函数解析式即可；
（2）转化成二次函数问题，对对称轴的位置与区间[-

2

，

2

]进行讨论；
（3）利用函数h（x）为R上的奇函数，得到h[sin2θ-（2+m）（sinθ+cosθ）-

4

sinθ+cosθ

]＞h（-3-2m），然后，再根据函数的单调性，转化成sin2θ-（2+m）（sinθ+cosθ）-

4

sinθ+cosθ

＞-3-2m，最后，利用换元法t=sinθ+cosθ，转化成m＞

t(2-t)+ 2 t (2-t)

2-t

=t+

2

t

，求解函数g（t）在[1，

2

]的最大值为3，从而解决问题．

解答： 解：（1）∵f（θ）=sin2θ-（2+m）（sinθ+cosθ），
令t=sinθ+cosθ，t∈[-

2

，

2

]，
∴sin2θ=t²-1，
当m=1时，g（m）=（t²-3t-1）_min=1-3

3

．
（2）f（θ）=F（t）=t²-（m+2）t-1，t∈[-

2

，

2

]，
∴g（m）=

(m+2) 2 +1，m≤-2 2 -2 - m2+4m+8 4  ，-2 2 -2＜m＜2 2 -2 1-(m+2) 2   ，m≥2 2 -2

，
（3）易证明函数h（x）为R上的奇函数，
使不等式h（f（θ））-h（

4

sinθ+cosθ

）+h（3+2m）＞0对所有θ∈[0，

π

2

]恒成立，
∴只需使不等式h[sin2θ-（2+m）（sinθ+cosθ）-

4

sinθ+cosθ

]+h（3+2m）＞0对所有θ∈[0，

π

2

]恒成立，
∴h[sin2θ-（2+m）（sinθ+cosθ）-

4

sinθ+cosθ

]＞-h（3+2m）=h（-3-2m），
∵函数h（x）为定义在R上的增函数，
∴sin2θ-（2+m）（sinθ+cosθ）-

4

sinθ+cosθ

＞-3-2m，
令t=sinθ+cosθ，
∴sin2θ=t²-1，
∵θ∈[0，

π

2

]，
∴t∈[1，

2

]，
∴原命题等价于t²-1-（m+2）t-

4

t

+3+2m＞0对t∈[1，

2

]恒成立，
∴（2-t）m＞2t-t²+

4

t

-2，
∴m＞

t(2-t)+ 2 t (2-t)

2-t

=t+

2

t

，
由对勾函数的图象和性质，得：
g（t）在[1，

2

]为减函数，
∴g（t）的最大值为3，
∴m＞3时，原命题成立．

点评：本题综合考查了三角函数的公式、三角恒等变换公式、二次函数最值、三角函数的图象与性质等知识，对于恒成立问题，一般思路是分离参数法，本题属于难题．