Question

10．已知 $（{1+x}）{（{2-x}）^6}={a_0}+{a_1}（x-1）+{a_2}{（x-1）^2}+…+{a_7}{（x-1）^7}$，则a₃=-25．

Answer 1

分析 把等式的左边化为[（x-1）+2]•[（x-1）-1]⁶，再按照二项式定理展开，可得（x-1）³的系数a₃的值．

解答 解：∵（1+x）•（2-x）⁶=[（x-1）+2]•（1-x+1）⁶=[（x-1）+2]•[（x-1）-1]⁶ 
=[（x-1）+2][${C}_{6}^{0}$•（x-1）⁶-${C}_{6}^{1}$•（x-1）⁵+${C}_{6}^{2}$•（x-1）⁴-${C}_{6}^{3}$•（x-1）³+${C}_{6}^{4}$•（x-1）²-${C}_{6}^{5}$•（x-1）+${C}_{6}^{6}$]，
且 $（{1+x}）{（{2-x}）^6}={a_0}+{a_1}（x-1）+{a_2}{（x-1）^2}+…+{a_7}{（x-1）^7}$，
故a₃=-2${C}_{6}^{3}$+${C}_{6}^{4}$=-25，
故答案为：-25．

点评 本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于中档题．