Question

已知函数f（x）=x³+2bx²+cx-2的图象在与x轴交点处的切线方程是y=5x-10．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）设函数g（x）=f（x）+

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mx，若g（x）的极值存在，求实数m的取值范围以及当x取何值时函数g（x）分别取得极大和极小值．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的极值

专题：计算题,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）由条件可得f（2）=0，求出导数，可得f′（2）=5，列出b，c的方程，解出即可；
（Ⅱ）求出g（x）的导数，令g′（x）=0，当g（x）的极值存在时，3x²-4x+1+

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m=0必有实根，由△=4（1-m）≥0，得m≤1．讨论m=1，m＜1时g（x）的极值即可．

解答： 解：（Ⅰ）由已知可得切点为（2，0），故有f（2）=0，
即4b+c+3=0①，
又f′（x）=3x²+4bx+c，由已知f′（2）=12+8b+c=5，即8b+c+7=0②
由①②解得c=1，b=-1，
于是函数解析式为f（x）=x³-2x²+x-2；
（Ⅱ）g（x）=x³-2x²+x-2+

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mx，导数g′（x）=3x²-4x+1+

1

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m，
令g′（x）=0，当g（x）的极值存在时，3x²-4x+1+

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3

m=0必有实根，
由△=4（1-m）≥0，得m≤1．
①当m=1时，g′（x）=0有实根x=

2

3

，在x=

2

3

左右两侧均有g′（x）＞0，故函数g（x）无极值．
②当m＜1时，g′（x）=0有两个实根，x₁=

1

3

（2-

1-m

），x₂=

1

3

（2+

1-m

），
由g′（x）＞0得x＞x₂或x＜x₁；由g′（x）＜0得x₁＜x＜x₂．
故当m＜1时，函数g（x）有极值：当x=

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3

（2-

1-m

）时g（x）有极大值；
当x=

1

3

（2+

1-m

）时g（x）有极小值．

点评：本题考查导数的综合应用：求切线方程和求单调区间、极值，考查分类讨论的思想方法，属于中档题．