Question

已知a，b＞0．
（1）求证：a（b²+c²）+b（c²+a²）≥4abc；
（2）若4a+b=1，求ab的最大值．

Answer 1

考点：不等式的证明

专题：不等式的解法及应用

分析：（1）a（b²+c²）+b（c²+a²）=a+b）（c²+ab）≥2

ab

×2

abc2

=4abc．
（2）由已知得1=4a+b≥2

4ab

，由此能求出ab的最大值．

解答： （1）证明：∵a，b＞0．
∴a（b²+c²）+b（c²+a²）
=ab²+ac²+bc²+ba²
=c²（a+b）+ab（a+b）
=（a+b）（c²+ab）
≥2

ab

×2

abc2

=4abc，
∴a（b²+c²）+b（c²+a²）≥4abc．
（2）解：∵a，b＞0，4a+b=1，
∴1=4a+b≥2

4ab

=4

ab

，
∴

ab

≤

1

4

，
∴ab≤

1

16

．
当且仅当4a=b=

1

2

时取等号，
∴ab的最大值为

1

16

．

点评：本题考查不等式的证明，考查两数积的最大值的求法，解题时要认真审题，注意基本不等式的合理运用．