Question

意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一组数：1，1，2，3，5，8，13，…其中从第三个数起，每一个数都等于他前而两个数的和．该数列是一个非常美丽、和谐的数列，有很多奇妙的属性．比如：随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越逼近黄金分割0.6180339887…．人们称该数列{a_n}为“斐波那契数列”．若把该数列{a_n}的每一项除以4所得的余数按相对应的顺序组成新数列{b_n}，在数列{b_n}中第2014项的值是

 

；数列{b_n}中，第2014个值为1的项的序号是

 

．

Answer 1

考点：数列的概念及简单表示法

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：根据数列，得到余数构成是数列是周期数列，即可得到结论．

解答： 解：1，1，2，3，5，8，13，…除以4所得的余数分别为1，1，2，3，1，0，；1，1，2，3，1，0…，
即新数列{b_n}是周期为6的周期数列，
b₂₀₁₄=b_235×6+4=b₄=3，
在每一个周期内，含有3个1，
2014=671×3+1，
∴第2014个值为1是项，位于第672个周期内的第一个1，
则671×6+1=4027，
故答案为：3；4027

点评：本题主要考查数列的应用，利用条件推导数列为周期数列是解决本题的关键．