Question

12．如图，在平面直角坐标系xOy中，A和B分别是椭圆C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）和C₂：$\frac{{x}^{2}}{{m}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{n}^{2}}$=1（m＞n＞0）上的动点，已知C₁的焦距为2，且$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，又当动点A在x轴上的射影为C₁的焦点时，点A恰在双曲线2y²-x²=1的渐近线上．
（I）求椭圆C₁的标准方程；
（II）若m，n是常数，且$\frac{1}{{m}^{2}}$-$\frac{1}{{n}^{2}}$=-$\frac{1}{2}$．证明|OT|为定值．（其中T为O在AB上的射影）

Answer 1

分析 （I）由题意可知双曲线2y²-x²=1的渐近线方程为：y=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，即$\frac{{b}^{2}}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，2c=2，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；
（II）设直线直线OA的斜率存在，且k≠0时，代入椭圆C₁和C₂，分别表示出丨OA丨²和丨OB丨²，由$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{OT}$=0，表示出$\frac{1}{丨{OT丨}^{2}}$=$\frac{1}{丨OA{丨}^{2}}$+$\frac{1}{丨OB{丨}^{2}}$，将$\frac{1}{{m}^{2}}$-$\frac{1}{{n}^{2}}$=-$\frac{1}{2}$代入即可求得|OT|=$\frac{m}{\sqrt{1+{m}^{2}}}$，直线OA斜率k不存在时和k=0，也成立，所以|OT|为定值．

解答 解：（Ⅰ）双曲线2y²-x²=1的渐近线方程为：y=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，
由题意可知：可知$\frac{{b}^{2}}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
由椭圆C₁的半焦距c=1，a²-b²=1，
解得：a=$\sqrt{2}$，b=1，
∴椭圆C₁的标准方程$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$，
（II）证明：由当直线OA的斜率存在，且k≠0时，
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\\{y=kx}\end{array}\right.$，消去y得：x²=$\frac{1}{\frac{1}{2}+{k}^{2}}$，则丨OA丨²=$\frac{1+{k}^{2}}{\frac{1}{2}+{k}^{2}}$=1+$\frac{1}{1+2{k}^{2}}$，
由T，A，B三点共线，且$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{OT}$=0，
可知丨$\overrightarrow{OT}$丨²=$\frac{丨\overrightarrow{OA}{丨}^{2}•丨OB{丨}^{2}}{丨{AB丨}^{2}}$，
即丨$\overrightarrow{OT}$丨²=$\frac{丨\overrightarrow{OA}{丨}^{2}•丨\overrightarrow{OB}{丨}^{2}}{丨\overrightarrow{OA}{丨}^{2}+丨\overrightarrow{OB}{丨}^{2}}$，
∴$\frac{1}{丨{OT丨}^{2}}$=$\frac{1}{丨OA{丨}^{2}}$+$\frac{1}{丨OB{丨}^{2}}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{{m}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{n}^{2}}=1}\\{y=-\frac{1}{k}x}\end{array}\right.$，消去y，得x²=$\frac{1}{\frac{1}{{m}^{2}}+\frac{1}{{n}^{2}{k}^{2}}}$，则丨OB丨²=$\frac{1+\frac{1}{{k}^{2}}}{\frac{1}{{m}^{2}}+\frac{1}{{n}^{2}{k}^{2}}}$=$\frac{1+{k}^{2}}{\frac{{k}^{2}}{{m}^{2}}+\frac{1}{{n}^{2}}}$，
∴$\frac{1}{丨OB{丨}^{2}}$=$\frac{\frac{{k}^{2}}{{m}^{2}}+\frac{1}{{n}^{2}}}{1+{k}^{2}}$，
∴$\frac{1}{丨OT{丨}^{2}}$=$\frac{\frac{{k}^{2}}{{m}^{2}}+\frac{1}{{n}^{2}}}{1+{k}^{2}}$+$\frac{\frac{1}{2}+{k}^{2}}{1+{k}^{2}}$=$\frac{（1+\frac{1}{{m}^{2}}）{k}^{2}+（\frac{1}{2}+\frac{1}{{n}^{2}}）}{1+{k}^{2}}$，
∵$\frac{1}{{m}^{2}}$-$\frac{1}{{n}^{2}}$=-$\frac{1}{2}$．
∴$\frac{1}{丨OT{丨}^{2}}$=$\frac{（1+\frac{1}{{m}^{2}}）（{k}^{2}+1）}{1+{k}^{2}}$=1+$\frac{1}{{m}^{2}}$，
∴|OT|=$\frac{m}{\sqrt{1+{m}^{2}}}$，
当直线OA斜率k不存在时和k=0，也成立，
|OT|为定值．

点评 本题考查椭圆的标准方程及其简单性质，考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，计算量大，化简过程繁琐，属于难题．