Question

13．已知递增数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a₁=3，$4{S_n}-4n+1={a_n}^2$．设${b_n}=\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$（n∈N^*）且数列{b_n}的前n项和为T_n．
（Ⅰ）求证：数列{a_n}为等差数列；
（Ⅱ）试求所有的正整数m，使得$\frac{{{a_m}^2+{a_{m+1}}^2-{a_{m+2}}^2}}{{{a_m}{a_{m+1}}}}$为整数；
（Ⅲ）若对任意的n∈N^*，不等式$λ{T_n}＜n+\frac{2}{3}•{（-1）^{n+1}}$恒成立，求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由$4{S_n}-4n+1={a_n}^2$，得${（{a_n}-2）^2}={a_{n-1}}^2$（n≥2），从而a_n-a_n-1=2（n≥2）或a_n+a_n-1=2（n≥2）（舍），由此能证明数列{a_n}为等差数列．
（Ⅱ）由a_n=2n+1，知$\frac{{{a_m}^2+{a_{m+1}}^2-{a_{m+2}}^2}}{{{a_m}{a_{m+1}}}}=\frac{{{{（2m+1）}^2}+{{（2m+3）}^2}-{{（2m+5）}^2}}}{（2m-1）（2m+1）}$=$1-\frac{6}{2m+1}$∈Z，从而2m+1=3，由此能求出m．
（Ⅲ）由a_n=2n+1，知${b_n}=\frac{1}{（2n+1）（2n+3）}=\frac{1}{2}（\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}）$，从而得到T_n=$\frac{n}{3（2n+3）}$，从而$λ{T_n}＜n+\frac{2}{3}•{（-1）^{n+1}}$对任意n∈N^*恒成立等价于$λ•\frac{n}{3（2n+3）}＜n+\frac{2}{3}•{（-1）^{n+1}}$对任意n∈N^*恒成立，由此能求出实数λ的取值范围．

解答 证明：（Ⅰ）由$4{S_n}-4n+1={a_n}^2$…①
得$4{S_{n-1}}-4（n-1）+1={a_{n-1}}^2$（n≥2）…②，
由①-②得$4{a_n}-4={a_n}^2-{a_{n-1}}^2$（n≥2），
即${a_n}^2-4{a_n}+4={a_{n-1}}^2$，
即${（{a_n}-2）^2}={a_{n-1}}^2$（n≥2），
所以a_n-2=a_n-1（n≥2）或a_n-2=-a_n-1（n≥2），
即a_n-a_n-1=2（n≥2）或a_n+a_n-1=2（n≥2）．
若a_n+a_n-1=2（n≥2），则有a₁+a₂=2，而a₁=3，
所以a₂=-1，于是a₁＞a₂，这与数列{a_n}递增矛盾，a_n+a_n-1=2（n≥2）应舍去，
所以a_n-a_n-1=2（n≥2），故数列{a_n}为等差数列．
解：（Ⅱ）由（Ⅰ）知a_n=2n+1，
故$\frac{{{a_m}^2+{a_{m+1}}^2-{a_{m+2}}^2}}{{{a_m}{a_{m+1}}}}=\frac{{{{（2m+1）}^2}+{{（2m+3）}^2}-{{（2m+5）}^2}}}{（2m-1）（2m+1）}$
=$\frac{{4{m^2}-4m-15}}{（2m-1）（2m+1）}$
=$\frac{（2m-5）（2m+3）}{（2m+1）（2m+3）}=\frac{2m-5}{2m+1}=1-\frac{6}{2m+1}$，
因为$1-\frac{6}{2m+1}$∈Z，
所以$\frac{6}{2m+1}∈Z$，
又2m+1≥3且2m+1为奇数，所以2m+1=3，故m=1．
（Ⅲ）由（Ⅰ）知a_n=2n+1，则${b_n}=\frac{1}{（2n+1）（2n+3）}=\frac{1}{2}（\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}）$，
所以${T_n}=\frac{1}{2}[（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）+（\frac{1}{5}-\frac{1}{7}）…+（\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}）]=\frac{1}{2}（\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3}）=\frac{n}{3（2n+3）}$，
从而$λ{T_n}＜n+\frac{2}{3}•{（-1）^{n+1}}$对任意n∈N^*恒成立等价于$λ•\frac{n}{3（2n+3）}＜n+\frac{2}{3}•{（-1）^{n+1}}$对任意n∈N^*恒成立．
当n为奇数时，$λ＜\frac{{3（2n+3）（n+\frac{2}{3}）}}{n}$恒成立，
记$f（n）=\frac{{3（2n+3）（n+\frac{2}{3}）}}{n}$），则$f（n）=\frac{{3（2n+3）（n+\frac{2}{3}）}}{n}$=$6（n+\frac{1}{n}）+13≥f（1）=25$，所以λ＜25，
当n为偶数时，$λ＜\frac{{3（2n+3）（n-\frac{2}{3}）}}{n}$恒成立，
记$g（n）=\frac{{3（2n+3）（n-\frac{2}{3}）}}{n}=6（n-\frac{1}{n}）+5$，
显然g（n）递增，所以g（n）≥g（2）=14，所以λ＜14．
综上，实数λ的取值范围为λ＜14．

点评 本题考查等差数列的证明，考查实数值及实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．