Question

3．已知函数f（x）=lnx+ax的函数图象在点（1，f（1））处的切线平行于x轴．
（1）求函数f（x）的极值；
（2）若直线y=kx+b与函数f（x）的图象交于两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁＜x₂）．
证明：$\frac{1-{x}_{2}}{{x}_{2}}$＜k＜$\frac{1-{x}_{1}}{{x}_{1}}$．

Answer 1

分析 （1）由求导公式求出函数f（x）的导数，由导数的几何意义和条件列出方程，求出a的值，再确定函数的单调性，即可求函数f（x）的极值；
（2）令$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$=t（t＞1），即证1-$\frac{1}{t}$＜lnt＜t-1（t＞1）．

解答 （1）解：依题意f（x）=lnx+ax，则f′（x）=$\frac{1}{x}$+a
由函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线平行于x轴得：f′（1）=1+a=0
∴a=-1 …（2分）
所以 f′（x）=$\frac{1}{x}$-1．
因为函数f（x）的定义域为（0，+∞）
由f′（x）＞0得0＜x＜1，由f′（x）＜0得x＞1，即函数f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）单调递减   
所以f（x）_极大值=f（1）=-1，没有极小值  …（5分）
（2）证明：依题意得k=$\frac{ln{x}_{2}-ln{x}_{1}-{x}_{2}+{x}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$，
证$\frac{1-{x}_{2}}{{x}_{2}}$＜k＜$\frac{1-{x}_{1}}{{x}_{1}}$，即证$\frac{1}{{x}_{2}}$＜$\frac{ln{x}_{2}-ln{x}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$＜$\frac{1}{{x}_{1}}$
因x₂-x₁＞0，即证$\frac{{x}_{2}-{x}_{1}}{{x}_{2}}$＜ln$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$＜$\frac{{x}_{2}-{x}_{1}}{{x}_{1}}$
令$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$=t（t＞1），即证1-$\frac{1}{t}$＜lnt＜t-1（t＞1）…（8分）
令h（t）=lnt+$\frac{1}{t}$-1（t＞1）则h′（t）=$\frac{t-1}{{t}^{2}}$＞0
∴h（t）在（1，+∞）上单调递增，
∴h（t）＞h（1）=0，即lnt＞1-$\frac{1}{t}$（t＞1）①
同理可证：lnt＜t-1②
综①②得1-$\frac{1}{t}$＜lnt＜t-1（t＞1），…（11分）
所以$\frac{1-{x}_{2}}{{x}_{2}}$＜k＜$\frac{1-{x}_{1}}{{x}_{1}}$…（12分）

点评 本题考查导数知识的综合运用，考查不等式的证明．导数的几何意义：过曲线上某点的切线的斜率，就是函数在该点处的导数值．