Question

14．在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且（2b-a）•cosC=ccosA，c=3，sinA+sinB=2$\sqrt{6}$sinAsinB，则△ABC的面积为（　　）

• A． $\frac{3\sqrt{3}}{8}$
• B． 2
• C． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• D． $\frac{3\sqrt{3}}{4}$

Answer 1

分析 由已知及余弦定理可求C的值，由sinA+sinB=2$\sqrt{6}$sinAsinB，可得$\frac{1}{sinB}+\frac{1}{sinA}$=2$\sqrt{6}$，由正弦定理得：$\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{sinB}$=$\frac{3}{sin60°}$=2$\sqrt{3}$，$\frac{2\sqrt{3}}{a}$+$\frac{2\sqrt{3}}{b}$=2$\sqrt{6}$，a+b=$\sqrt{2}$ab，由余弦定理知：c²=a²+b²-2abcosC=（a+b）²-2ab（1+cosC），从而可得ab=3，即可求△ABC的面积．

解答 解：∵（2b-a）•cosC=ccosA，
∴利用正弦定理可得：2sinBcosC=sinAcosC+sinCcosA=sin（A+C）=sinB，
∵sinB≠0，
∴cosC=$\frac{1}{2}$，C=$\frac{π}{3}$，
∵sinA+sinB=2$\sqrt{6}$sinAsinB，c=3，
∴$\frac{1}{sinB}+\frac{1}{sinA}$=2$\sqrt{6}$，
由正弦定理得：$\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{sinB}$=$\frac{3}{sin60°}$=2$\sqrt{3}$，
∴$\frac{2\sqrt{3}}{a}$+$\frac{2\sqrt{3}}{b}$=2$\sqrt{6}$，
∴a+b=$\sqrt{2}$ab，…（1）
由余弦定理知：c²=a²+b²-2abcosC=（a+b）²-2ab（1+cosC），…（2）
由（1）（2）知道：3²=（$\sqrt{2}$ab）²-2ab（1+cos60°），
整理：（2ab+3）（ab-3）=0，
∵2ab+3＞0，
∴ab=3，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{1}{2}$×3×sin60°=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$．
故选：D．

点评 本题考查正弦定理、余弦定理，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．