Question

16．已知函数f（x）=a-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$
（1）求证：f（x）为增函数；
（2）若f（x）为奇函数，求f（x）的值域；
（3）在（2）成立的情况下，若g（x）=xf（x）-2m+5，在定义域内总有g（x）≥0成立，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据函数单调性的定义进行证明，
（2）根据函数奇偶性的性质，结合指数函数单调性的性质进行求解．
（3）根据指数函数单调性的性质进行求解．

解答 解：（1）∵f（x）的定义域为R，不妨设：x₁＜x₂
则$f（{x_1}）-f（{x_2}）=a-\frac{2}{{{2^{x_1}}+1}}-a+\frac{2}{{{2^{x_2}}+1}}$=$\frac{{2•（{2^{x_1}}-{2^{x_2}}）}}{{（1+{2^{x_1}}）（1+{2^{x_2}}）}}$，
∵x₁＜x₂，∴${2^{x_1}}-{2^{x_2}}＜0，（1+{2^{x_1}}）（1+{2^{x_2}}）＞0$，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），所以不论a为何实数f（x）总为增函数．…（3分）
（2）∵f（x）为奇函数，∴f（-x）=-f（x），
即$a-\frac{2}{{{2^{-x}}+1}}=-a+\frac{2}{{{2^x}+1}}$，解得：a=1．∴$f（x）=1-\frac{2}{{{2^x}+1}}$．…（5分）
$f（x）=1-\frac{2}{{{2^x}+1}}$，
∵2^x+1＞1，∴$0＜\frac{2}{{{2^x}+1}}＜2$，∴$-2＜-\frac{2}{{{2^x}+1}}＜0$，∴-1＜f（x）＜1
∴f（x）的值域为（-1，1）．…（8分）
（3）在定义域内总有g（x）≥0成立，即xf（x）≥2m-5在R内总成立，
结合（2）当x≥0时，2^x+1≥2，$0＜\frac{2}{{{2^x}+1}}≤1$$0≤1-\frac{2}{{{2^x}+1}}＜1$，即f（x）≥0，
∴xf（x）≥0
同理：当x＜0时，f（x）＜0，∴xf（x）＞0，
∴xf（x）≥0在R内总成立，
∴0≥2m-5，$m≤\frac{5}{2}$
∴当$m≤\frac{5}{2}$时，定义域内总有g（x）≥0成立．  …（12分）

点评 本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断和证明，利用定义法以及转化法是解决本题的关键．综合考查函数的性质．