题目内容
已知
与
不共线，向量
+
与2
-
垂直，
-2
与2
+
也垂直，求
与
的夹角的余弦值．
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
考点：数量积表示两个向量的夹角,平面向量数量积的运算
专题：平面向量及应用
分析：由题意可得（
+
）•（2
-
）=2
2+|
||
|cosθ-
2=0，（
-2
）•（2
+
）=2
2-3|
||
|cosθ-2
2=0，解方程组可得cosθ=-
=-
，可得
=
=
，代入cosθ=-
化简可得．
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| a |
| b |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| a |
| b |
| b |
| 1 |
| 4 |
|
| ||
|
|
| 2 |
| 5 |
|
| ||
|
|
|
| ||
|
|
|
2
| ||
| 5 |
| 1 |
| 4 |
|
| ||
|
|
解答：
解：设
与
的夹角为θ，
∵
与
不共线，向量
+
与2
-
垂直，
-2
与2
+
也垂直，
∴（
+
）•（2
-
）=2
2+|
||
|cosθ-
2=0，①
（
-2
）•（2
+
）=2
2-3|
||
|cosθ-2
2=0，②
①②联立消去
2可得cosθ=-
，同理消去
2可得cosθ=-
，
由-
=-
可得
=
=
，代回cosθ=-
可得cosθ=-
| a |
| b |
∵
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
∴（
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| a |
| b |
| b |
（
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| a |
| b |
| b |
①②联立消去
| a |
| 1 |
| 4 |
|
| ||
|
|
| b |
| 2 |
| 5 |
|
| ||
|
|
由-
| 1 |
| 4 |
|
| ||
|
|
| 2 |
| 5 |
|
| ||
|
|
|
| ||
|
|
|
2
| ||
| 5 |
| 1 |
| 4 |
|
| ||
|
|
| ||
| 10 |
点评：本题考查数量积与向量的夹角，涉及方程组的解法，属中档题．
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