Question

若f(x)=x+ln(x+

1+x2

)，对于任意实数a和b，a+b＜0是f（a）+f（b）＜0的

 

．

Answer 1

考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断

专题：函数的性质及应用,简易逻辑

分析：根据条件判断函数的奇偶性和单调性即可得到结论．

解答： 解：显然，函数f（x）在R上是递增函数，
f（-x）=-x+ln（-x+

1+x2

）=-x+ln（x+

1+x2

）^-1═-x-ln（x+

1+x2

）=-（x+ln（x+

1+x2

）=-f（x），
则f（x）是奇函数，于是，由a+b＜0，得a＜-b，有f（a）＜f（-b）=-f（b），
即f（a）+f（b）＜0．反过来，也成立．
故a+b＜0是f（a）+f（b）＜0的充要条件，
故答案为：充要条件

点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据条件判断函数的奇偶性和单调性是解决本题的关键．