Question

在Rt△ABC中，CA=CB=3，M，N是斜边AB上的两个动点，且MN=

2

，则

CM

•

CN

的取值范围为（　　）

• A、[3，6]
• B、[4，6]
• C、[2，

  5

  2

  ]
• D、[2，4]

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：计算题,平面向量及应用

分析：通过建立直角坐标系求出AB所在直线的方程，设出M，N的坐标，将

CM

•

CN

=2（b-1）²+4，0≤b≤2，求出范围即可．

解答： 解：以C为坐标原点，CA为x轴建立平面坐标系，
则A（3，0），B（0，3），
∴AB所在直线的方程为：

x

3

+

y

3

=1，则y=3-x，
设N（a，3-a），M（b，3-b），且0≤a≤3，0≤b≤3不妨设a＞b，
∵MN=

2

，
∴（a-b）²+（b-a）²=2，
∴a-b=1，∴a=b+1，
∴0≤b≤2，
∴

CM

•

CN

=（a，3-a）•（b，3-b）
=2ab-3（a+b）+9，
=2（b²-2b+3）=2（b-1）²+4，0≤b≤2，
∴当b=0或b=2时有最大值6；
当b=1时有最小值4．
∴

CM

•

CN

的取值范围为[4，6]
故选B．

点评：熟练掌握通过建立直角坐标系、数量积的坐标运算是解题的关键．