Question

已知等比数列{a_n}满足：a₂=4，公比q=2，数列{b_n}的前n项和为S_n，且S_n=

4

3

b_n-

2

3

a_n+

2

3

（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}和数列{b_n}的通项a_n和b_n；
（2）设P_n=

an

Sn

（n∈N^*），证明：

n

i=1

P_i＜

3

2

．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式,数列与不等式的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知得an=a2•2n-2=2n．所以Sn=

4

3

b n-

2

3

(2n-1)，由此推导出数列{bn+2n}是首项为b₁+2=4，公比为4的等比数列，从而求出bn=4n-2n．
（2）由bn=4n-2n，得Pn=

an

Sn

=

2n

2 3 (2n+1-1)(2n-1)

=

3

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1-1

)，由此能证明

n

i=1

P_i＜

3

2

．

解答： （1）解：由a₂=4，q=2得，an=a2•2n-2=2n．（2分）
由上式结合Sn=

4

3

b n-

2

3

an+

2

3

，
得Sn=

4

3

b n-

2

3

(2n-1)，
则当n≥2时，b_n=S_n-S_n-1=

4

3

bn-

2

3

(2n-1)-

4

3

bn-1+

2

3

(2n-1-1)，（4分）
∴bn-2n+1-4b_n-1+2ⁿ=0，（5分）
∴bn+2n=4(bn-1 +2n-1)，（7分）
∵b1=S1=

4

3

b1-

2

3

×1，∴b₁=2，（8分）
∴数列{bn+2n}是首项为b₁+2=4，公比为4的等比数列，（9分）
∴bn+2n=4×4n-1=4n，∴bn=4n-2n．（10分）
（2）证明：由bn=4n-2n，
得Sn=

4

3

b n-

2

3

(2n-1)
=

4

3

(4n-2n)-

2

3

(2n-1)=

2

3

(2n+1-1)(2n-1)，
∴Pn=

an

Sn

=

2n

2 3 (2n+1-1)(2n-1)

=

3

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1-1

)，（12分）
∴

n

i=1

Pi=P₁+P₂+…+P_n
=

3

2

[(1-

1

22-1

)+(

1

22-1

-

1

23-1

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1-1

)
=

3

2

(1-

1

2n+1-1

)＜

3

2

．（14分）

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．